Usando uno dei teoremi di selezione di E. Michwel si prova il seguente
risultato: siano (X, d) e (Y, p) spazi metrici e sia X localmente
compatto. Sia $\mathcal{C}$( X, Y) l'insieme di tutte le mappe continue
da X a Y, dotato della topologia della convergenza uniforme. Allora
esiste una funzione continua ad un valore $\hat{\delta}\::\:\mathcal{C}\left(\textrm{X,Y}\right)\times\textrm{X}\times\left(0,\infty\right)\rightarrow\left(0,\infty\right)$
e per ogni x' $\epsilon$ X : d(x,x') < $\hat{\delta}$(f, x, $\epsilon$)
$\Rightarrow$ p(f(x),f(x')) < $\epsilon$. Come corollario, si ottiene
un'altra dimostrazione del fatto che il teorema di Cantor sulla uniforme
continuità implica il Teorema di Weierstrass sulla limitatezza delle
funzioni continue sui compatti. Using one of E. Michael's selection theorems we prove the following
result: Let (X, d) and (Y, p) be metric spaces and suppose that X
is locally compact. Let $\mathcal{C}$( X, Y) be the set of all continuous
maps from X to Y, endowed with the topology of uniform convergence.
Then there exists a continuous singlevalued function $\hat{\delta}\::\:\mathcal{C}\left(\textrm{X,Y}\right)\times\textrm{X}\times\left(0,\infty\right)\rightarrow\left(0,\infty\right)$
such that for every (f, x, $\epsilon$) $\epsilon\mathcal{C}\left(\textrm{X,Y}\right)\times\textrm{X}\times\left(0,\infty\right)$
and for every x' $\epsilon$ X : d(x,x') < $\hat{\delta}$(f, x, $\epsilon$)
$\Rightarrow$ p(f(x),f(x')) < $\epsilon$. As a corollary, we obtain
another proof that the Cantor theorem on uniform continuity implies
the Weierstrass theorem on boundedness of continuous functions on
compacta.
