Sia $\mathcal{F}=\left\{ X_{i}\;:\; i\epsilon I\right\} $ una famiglia
(quasi) ordinata di spazi topologici ove X$_{i}\leq$X$_{j}$ ogniqualvolta
X$_{i}$ è omeomorfo ad un sottospazio di X$_{j}$ e si consideri
il seguente problema: dato un insieme ordinato S è possibile determinare
una famiglia di spazi $\mathcal{F\left(S\right)}$ tali che $\left(\mathcal{F\left(S\right)\textrm{,}}\leq\right)$
è ordinatamente isomorfa ad S? Si vede essere un esercizio non banale
anche solo ottenere un esempio \textquotedbl{}concreto\textquotedbl{}
di famiglia ordinata persino in una maniera semplice come gli interi
negativi. Estendendo e modificando un argomento di Watson e Matier
si mostra come l'induzione transfinita possa essere usata per costruire
famiglie di spazi con prescritti tipi d'ordine. In particolare emerge
che ogni insieme ordinato con la potenza del continuo può essere modellato
(in questo senso) su una famiglia di sottospazi della retta reale. Let a family $\mathcal{F}=\left\{ X_{i}\;:\; i\epsilon I\right\} $
of topological spaces be (quasi) ordered by writing X$_{i}\leq$X$_{j}$
whenever X$_{i}$ is homeomorphic to a subspace of X$_{j}$ and consider
the problem: given an ordered set S, can we exhibit a family $\mathcal{F\left(S\right)}$
of spaces such that $\left(\mathcal{F\left(S\right)\textrm{,}}\leq\right)$
is order-isomorphic to S? It appears to be a non-trivial exercise
to obtain a 'concrete' example of a family ordered in even such a
simple way as the negative integers. By extending and modifying an
argument of Watson and Matier we show how transfinite induction can
be used to construct families of spaces which have certain prescribed
order-types. In particular it emerges that any ordered set on continuum-many
elements can be modelled (in this sense) by a family of subspaces
of the real line.
