Consideriamo un sistema in cui un'equazione differenziale è accoppiata
a un'equazione di evoluzione singolarmente perturbata:
\[
\begin{cases}
\begin{array}{c}
\overset{\dot{x}=f\left(t,x,y,\epsilon\right)}{}\\
\epsilon\dot{y}=A\left(t,x\right)y+g\left(t,x,y,\epsilon\right)
\end{array}\end{cases}
\]
Dimostreremo che, per $\epsilon$ piccolo, il sistema ammette una
varietà invariante regolare C$_{\epsilon}$=$\left\{ \left(t,x,y\right)\mid y=k\left(t,x,\epsilon\right)\right\} $
e che l'equazione ridotta x=f (t, x, k (t, x, $\epsilon$), $\epsilon$)
è C$^{r}$ vicina alla ``equazione limite'' x= f (t, x, 0, 0). Daremo
anche una descrizione qualitativa della dinamica vicino alla varietà
invariante C$_{\epsilon}$. We consider a system in which a differential equation is coupled with
a singularly perturbed semilinear evolution equation, namely:
\[
\begin{cases}
\begin{array}{c}
\overset{\dot{x}=f\left(t,x,y,\epsilon\right)}{}\\
\epsilon\dot{y}=A\left(t,x\right)y+g\left(t,x,y,\epsilon\right)
\end{array}\end{cases}
\]
We will prove that, for small $\epsilon$ , the system admits a smooth
invariant manifold C$_{\epsilon}$=$\left\{ \left(t,x,y\right)\mid y=k\left(t,x,\epsilon\right)\right\} $
and that the reduced equation x=f (t, x, k (t, x, $\epsilon$), $\epsilon$)
is C$^{r}$ near to the \textquotedbl{}limit equation\textquotedbl{}
x= f (t, x, 0, 0). We will also give a qualitative description of
the dynamics near the invariant manifold C$_{\epsilon}$.
