Si studia il problema di esistenza di soluzioni omocline di un sistema
Hamiltoniano del secondo ordine asintoticamente periodico: trovare
$q\epsilon C^{2}\left(\mathbf{R\textrm{,}\mathbf{R^{\textrm{N}}}}\right)\backslash\left\{ 0\right\} $
tale che
\[
\ddot{q}=q-V'\left(t,q\right),\qquad\dot{q}\left(t\right)\longrightarrow0\quad per\quad t\rightarrow\pm\infty\qquad\left(\textrm{HS}\right)
\]
dove si assume che l'origine è un massimo locale per il corrispondente
potenziale, uniformemente nel tempo, e dove V' è asintotico per $t\rightarrow\pm\infty$
a delle funzioni $V_{\pm}^{'}$ periodiche e superquadratiche. Proviamo,
via metodi variazionali che se le varietà stabile e instabile associate
all'origine di uno dei problemi all'infinito hanno intersezione numerabile
allora il problema (HS) ha infinite soluzioni omocline di tipo multibump. We study the problem of existence of homoclinic solutions of a second
order asymptotically periodic Hamiltonian system: find $q\epsilon C^{2}\left(\mathbf{R\textrm{,}\mathbf{R^{\textrm{N}}}}\right)\backslash\left\{ 0\right\} $
such that
\[
\ddot{q}=q-V'\left(t,q\right),\qquad\dot{q}\left(t\right)\longrightarrow0\quad per\quad t\rightarrow\pm\infty\qquad\left(\textrm{HS}\right)
\]
where it is assumed that the origin is a local maximum for the corresponding
potential, uniformly in time, and that V' is asymptotic, as $t\rightarrow\pm\infty$
to time periodic and superquadratic functions $V_{\pm}^{'}$. We prove
via variational methods that if the stable and unstable manifolds
associated to the origin of one of the systems at infinity have countable
intersection then the problem (HS) has infinitely many homoclinic
solutions of multibump type.
