Argomento di questa nota è il prolungamento dell'integrale. Si inizia
con l'introdurre un nuovo tipo di convergenza, da noi chiamata convergenza
$\sigma-uniforme$ , e se ne dimostrano alcune utili proprietà. Utilizzando
questo tipo di convergenza, si costruisce, seguendo l'indirizzo funzionale
di Daniell, a partire da una assegnata classe S di funzioni reali
definite su di un insieme X e da un integrale $I_{0}$definito su
S, la classe delle funzioni integrabili e il prolungamento dell'integrale
iniziale. Una tale classe risulta essere chiusa rispetto alla convergenza
$\sigma-uniforme$. Infine si fanno alcune considerazioni nel caso
in cui X coincide con un compatto dell'asse reale. In this paper we study the extension of the integral. We introduce
a new type of convergence, called $\sigma-uniform$ , and we prove
some useful properties. By means of this type of convergence and following
the lins of the Daniell theory, we define the class of integrable
functions and the extension of the integral $I_{0}$initially defined
on a given class S of real-valued functions on X. Such a class is
closed with respect to the $\sigma-uniform$ convergence. Some remarks
are added for the case in which X is a compact set of the real line.
