Si presenta un'impostazione dell'algebra omotopica basata su un endofuntore
cilindro I; e più precisamente sulla nozione di diade $\left(I,\partial^{-},\partial^{+},e,\, g^{-},g^{+}\right)$,
o monade cubica. Questo quadro di base può essere arricchito di simmetrie,
come l'inversione r : I$\rightarrow$I e l'interscambio s : $I^{2}\rightarrow I^{2}$
del caso topologico classico, e anzi di simmetrie generalizzate, applicabili
anche, ad esempio, agli oggetti cubici e alle algebre graduate differenziali.
Le due monadi associate ad una diade, il cono inferiore e il cono
superiore, sono ottenute mediante collasso di una base del cilindro;
le simmetrie sono importanti per il loro studio. This work is concerned with a setting for homotopical algebra based
on a cylinder endofunctor I; and more precisely on the notion of diad
$\left(I,\partial^{-},\partial^{+},e,\, g^{-},g^{+}\right)$, or cubical
monad. This basic frame can be enriched with symmetries, as the reversion
r : I$\rightarrow$I and interchange s : $I^{2}\rightarrow I^{2}$
for the classical topological case; or with generalised symmetries,
applying also, for instance, to cubical objects or differential graded
algebras. The two monads associated to a diad, lower cone and upper
cone, are obtained by collapsing one base of the cylinder; symmetries
are relevant for the study of their properties.
