Dato un sistema lineare Ax=b, uno spezzamento A=A$_{0}$-A$_{1}$
porta alla successione iterativa $x_{k}=Bx_{k-1}$ + C con B = $A_{0}^{-1}A_{1}$
e C=$A_{0}^{-1}b$. Il vettore dell'errore è $e_{k}=x_{k}-x_{soluzione}$
e fornisce $e_{k}=Be_{k-1}=...=B^{k}e_{0}$. Perciò $\parallel e_{k}\parallel$=$\parallel B^{k}e_{0}\parallel$<$\parallel B^{k}\parallel\cdot\parallel e_{0}\parallel\approx C_{k,p}\rho\left(B\right)^{k-p}\cdot e_{0}$.
Dunque la convergenza a breve termine (rispettivamente a lungo termine)
può essere migliorata minìmizzando le norme di B (rispettivamente
il raggio spettrale di B). In questo lavoro si considerano sia il
raggio spettrale che le norme dì differenti matrici iterative in competizione
fra loro. Given linear system Ax=b, a splitting A=A$_{0}$-A$_{1}$ leads to
the iterative sequence $x_{k}=Bx_{k-1}$ + C with B = $A_{0}^{-1}A_{1}$
and C=$A_{0}^{-1}b$. The error vector is $e_{k}=x_{k}-x_{solution}$
wich yelds $e_{k}=Be_{k-1}=...=B^{k}e_{0}$. Hence $\parallel e_{k}\parallel$=$\parallel B^{k}e_{0}\parallel$<$\parallel B^{k}\parallel\cdot\parallel e_{0}\parallel\approx C_{k,p}\rho\left(B\right)^{k-p}\cdot e_{0}$.
Therefore the short-term (long-term) convergence may be improved by
minimizing norms of B (spectral radius of B). In this paper we consider
both the spectral radius and the norms of competing iteration matrices.
