AN ANALYSIS OF DEPENDENCE STRUCTURES IN CREDIT RISK MODELS

L'oggetto di questa tesi è un'analisi di alcuni modelli per portafogli di rischi di credito, con speciale attenzione agli strun1enti usati in essi per rnodelizzare la dipendenza fra i default individuali, la quale è una delle rnaggiori fonti di preoccupazione nel management del rischio di credito. Focalizzererno in particolar modo la nostra attenzione su alcuni modelli per più gruppi ornogenei di rischi di credito, e specialrnente affrontererno il problerna della stirna dei loro parametri tramite il rnetodo della n1assima verosirniglianza; a tale scopo introdurremo un'approccio basato sull'uso dell'algoritmo E~1 (Expectation-l\1aximization). Nel prin1o capitolo introduciamo i principali stnunenti maternatici che verranno usati nel seguito. Presentiamo brevernente la teoria delle successioni scarnbiabili di variabili aleatorie, e mostriamo una dimostrazione, nel caso di vettori aleatori, del principale risultato in quest'ambito, il teorema di De Finetti. Poi introduciamo il concetto di copula, e mostriarno il teorerna di Sklar, facendone vedere il funzionarnento nel caso di variabili aleatorie con funzioni di distribuzione continue. Attraverso alcuni esempi illustriarno in che rnodo le copule descrivano la struttura di dipendenza nelle distribuzioni rnultivariate. Mostriamo anche corne sia possibile attraverso le copule esprirnere in n1odo naturale il coefficiente di dipendenza nelle code, una misura alternativa alla correlazione lineare per descrivere la dipendenza nel cornportarnento delle variabili aleatorie rappresentanti i rischi. Nel secondo capitolo analizziamo i due tipi più cornuni di rnodelli per portafogli di rischi di credito, i rnodelli a variabili latenti e i modelli di mistura di Bernoulli. Si rnostra come essenzialmente tutti i modelli a variabili latenti siano basati sulla copula Gaussiana, e si presenta un esempio di una generalizzazione ad una struttura di dipendenza più generale. Dopodiché si fanno alcuni esernpi di rnodelli di mistura di Bernoulli, e si presenta un sernplice risultato che perrnette di riscrivere i modelli a variabili latenti corne rnodelli di rnistura di Bernoulli. Alla fine del capitolo introduciamo il primo dei modelli per più gruppi omogenei di rischi di credito che verranno studiati in dettaglio nel seguito. Nel terzo capitolo analizziarno i due modelli su cui si è concentrato il maggior sforzo del nostro lavoro di tesi: il modello ad urna rnultidirnensionale e il rnodello a scherna iterativo di urne. Essi sono due esempi di modelli di mistura di Bernoulli multifattoriali la cui struttura di dipendenza è determinata da una generalizzazione del modello ad urna di Pòlya, in modo tale da introdurre dipendenza non solo fra i default nella stesso gruppo omogeneo di rischi, ma anche fra quelli in diversi gruppi (ad esempio diverse classi di rating), introducendo cioè una forma di contagio fra i default. Di entrarnbi i rnodelli, grazie all'uso degli strumenti forniti dalla teoria delle successioni scarnbiabili di variabili aleatorie, calcoliamo la distribuzione congiunta del nurnero dei default nelle varie classi di rating. La complessità della stirna statistica del valore dei parametri di suddetti rnodelli ci porta ad introdurre l'algoritmo EM (Expectation-Maxirnization), un'algoritrno per il calcolo iterativo delle stime di massirna verosirniglianza, il quale è l' argornento del quarto capitolo. In esso descriviarno brevernente la teoria generale riguardo all'algoritmo EM, e poi mostriamo corne applicarlo al caso dei tre rnodelli considerati. N el quinto capitolo affrontiarno gli aspetti tecnici dell'irnplementazione pratica dell'algoritmo nei casi considerati e presentiamo i risultati ottenuti, discutendone la bontà ed i vantaggi e gli svantaggi dell'uso dell'algoritrno. Infine nell'ultimo capitolo attraverso alcuni grafici effettuiarno un'analisi comparativa dei modelli studiati e indaghiamo la loro capacità di esprimere la dipendenza fra i default nelle differenti classi di rating. The subject of this thesis is an analysis of sorne models for portfolios of credit risks, with a special attention to the tools used in them to model the dependence between individuai defaults, which is one of the main concerns in credit risk modeling and rnanagement. We will especially focus our attention to son1e rnodels for several groups of exchangeable risks; in particular we will tackle the problerns related to the rnaxirnum likelihood estimation of the pararneters involved, and to this purpose we introduce an approach based on the utilization of the Expetation-Maximization algoritlun. In the first chapter we introduce the rnain rnathernatical tools used in the the thesis. We describe briefly the theory of exchangeable sequences of randorn variables and we show a proof, for the case of randorn vectors, of the main result about them, the De Finetti's theoren1. Then we introduce the concept of copula and we present the Sklar's theorem, showing how it works in the case of continuous distribution functions. Through sorne examples we illustrate how copulas can be used to describe the dependence structures in rnultivariate distributions. We also show how it is possible to express in a natural way the coefficient of tail dependence, an alternative measure of dependence between random variables, by mean of copulas. In the second chapter we review the two most cornrnon classes of rnodels for dependent credit risks, the latent variables rnodels and the Bernoulli rnixture models. We see how essentially alllatent variables models are based on the Gaussian copula, and we ci te an example of a generalization to a more generai dependence structure. Then we show some exarnples of Bernoulli rnixture models, and we present a simple result that allows to rewrite latent variable models as Bernoulli mixture ones. At the end of the chapter we introduce the first model for several exchangeable groups of risks that we will study in detail in the following. In the third chapter we analyze the two rnodels on which we have devoted the rnajor attention: the multidimensional and iterative urn schernes. They are two examples of rnulti factors Bernoulli mixture models whose dependence structure is introduced by generalizations of the Pòlya urn scheme, in such a way that it allows for dependence both in the same rating group and in different rating groups, introducing then some form of contagion between defaults. For both of them, by using the tools of the theory about exchangeable sequences of random variables, we derive the expression of the joint default probability for the number of defaults in the different rating groups. The cornplexity involved in the statistica! estimation of the parameters of these models lead us to introduce the Expectation-11axirnization algorithm for iterative rnaximum likelihood estimations, which is the subject of chapter four. We briefly present the generai theory about it, and then show how to apply it in the case of the three models considered. In the fifth chapter we face the technical aspects of the irnplernentation of the algorithm and present the results obtained, discussing about advantages and disadvantages of the use of the algorithrn. In the last chapter we plot sorne graphics to compare qualitatively the rnodels and to analyze their capacity of expressing the dependence between defaults in different rating classes.