Turbulent Effects vs Stability in Equations from Oceanography

La turbolenza è un fenomeno onnipresente in natura, sperimentato da tutti quotidianamente in una moltitudine di occasioni, dall'infrangersi delle onde sulla riva al depositarsi della polvere. Nonostante questa pervasività, la sua interpretazione matematica può essere descritta come un “enigma avvolto in un mistero dentro un enigma”. Tale elusività risiede nella struttura stessa dei principali modelli idrodinamici, che sono equazioni non lineari e, come tali, danno luogo a una dinamica molto ricca e non banale. Nonostante queste evidenti limitazioni, esistono limitati scenari in cui è possibile descrivere i fenomeni turbolenti, o escluderli. Questi, per lo più, possono essere formalizzati in gergo matematico come risultati della stabilità e della sua controparte negativa, l'instabilità. L'obiettivo principale della presente proposta di ricerca è quello di fornire diverse nuove impostazioni che descrivono configurazioni stabili e instabili nella fluidodinamica incomprimibile; i risultati che ci proponiamo di indagare saranno studiati utilizzando un mix di tecniche recentemente sviluppate in diverse pubblicazioni scientifiche di rilievo e nuove implementazioni da parte dei membri del team di ricerca, In particolare, desideriamo collegare metodicamente tecniche originariamente sviluppate nel contesto dei sistemi dinamici (forme normali, teoria KAM, calcolo pseudodifferenziale) a specifici problemi pratici di fluidodinamica, e viceversa; tutto ciò sarà implementato utilizzando sofisticati strumenti di analisi armonica e complessa, come il calcolo pseudo- e para-differenziale e altri strumenti originariamente sviluppati nel contesto della teoria delle onde non lineari. Questi metodi sono già stati applicati con successo negli ultimi 20 anni circa, vivendo così un nuovo rinascimento nel tema classico della fluidodinamica incomprimibile. Ogni membro che partecipa al progetto ha meno di 40 anni e ha una posizione in un'istituzione italiana. Questo disegna una collaborazione tra i principali membri del programma di ricerca che si estende profondamente nel futuro, generando le basi potenziali per lo sviluppo di una scuola di fluidodinamica incomprimibile che sia autoctona dell'Università italiana. La proposta è quindi concepita per dare il via a questa cooperazione e migliorare le interazioni tra i vari membri del gruppo.

Turbulence is an ubiquitous phenomenon in nature, and it experienced by everyone daily in a multitude of occasions, from waves braking on a shore to dust settling. Despite such pervasiveness its mathematical interpretation can be described as a "A riddle wrapped in a mystery inside an enigma". Such elusiveness lies in the very structure of the main hydrodynamical models, which are nonlinear equations and, as such, give rise to a very rich and nontrivial dynamics. Despite such evident limitations there are limited setting in which we can describe turbulent phenomena, or rule out them. These, mostly, can be formalized as result of stability and its negative counterpart, instability, in mathematical jargon. The main aim of the present research proposal is to provide several new settings describing stable and unstable configurations in incompressible fluid-dynamics, the result that we propose to investigate will be studied using a mix of techniques recently developed in several outstanding scientific publication and new implementations by the members of the research teams, specifically we wish to methodically bridge techniques originally developed in the context of dynamical systems (normal forms, KAM theory, pseudodifferential calculus) to specific practical problems of fluid dynamics, and vice versa, all this will be implemented using sophisticated tools of harmonic and complex analysis such as pseudo- and para-differential calculus and other tools originally developed in the context of nonlinear wave theory. These methods have already being applied successfully in he past 20 years or so, thus experiencing a new renaissance in the classical topic of incompressible fluid dynamics. Each member participating to the project is under 40 years of age and has a position in an Italian institution. This designs a cooperation among the main members of the research program that spans deeply in the future, generating the potential foundations for developing a school in incompressible fluid dynamics which is indigenous to the Italian University. The proposal is hence conceived in order to jump-start such cooperation and enhance the interactions among the various members of the group.